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经典数学的逻辑基础
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2014-01-30 点击: 2113 次 我要收藏

  【作者简介】许涤非,中国人民大学哲学学院。

  
  经典数学理论的逻辑完全是一阶逻辑还是也需要二阶逻辑?逻辑学家对此一直有争议。这种争议大约开始于20世纪20年代,但是似乎直到现在还未尘埃落定。在普遍接受反基础主义的前提下,数学基础的研究任务不再是为数学的各个分支寻找最大程度上免于理性怀疑的基础,而是在重构数学分支的过程中给出各个数学分支间的关系,描绘出数学的大图景。在这样的背景下,数学基础的研究不可避免地需要二阶逻辑。一阶逻辑与二阶逻辑的主张者都承认经典数学,这就使得他们与直觉主义的主张有明显的不同。一阶逻辑的主张者认为只有一阶逻辑才是经典数学的逻辑,本文则提出一种比较温和的二阶逻辑的主张,即认为除了一阶逻辑之外,二阶逻辑在数学基础研究中的作用亦不容忽视。

  一、在反基础主义精神下理解数学基础

  历史上主张经典数学的逻辑是一阶逻辑的逻辑学家主要有司寇仑(T. Skolem)、冯.诺依曼(von Neumann)、蒯因(W. V. O. Quine)等;主张二阶逻辑的逻辑学家主要有丘奇(A. Church)、策梅洛(F. F. F. Zermelo)、克雷斯(G. Kreisel)。当数理逻辑的发展进入到20世纪30年代,数理逻辑学家发现原来的某些促使逻辑学发展的基础主义动机无法实现了。当代的数学基础的研究都是在反基础主义立场下进行的。那么,应该怎样理解反基础主义下的数学基础的研究?

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