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刘壮虎:邻域语义学与推演系统的完全性
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-07-31 点击: 1215 次 我要收藏

推演系统并不一定是逻辑系统,在讨论一个推演系统是不是逻辑系统时,完全性是一个重要的标准。然而,完全性是相对于语义解释的,如果允许任意的语义解释,则完全性标准可能是无用的。设想这样的情况,有一种语义解释,使得所有的推演系统对于它都是完全的。实际上,确实有这样的语义解释。
在本文中,我们构造一种适合于一切命题逻辑的语义学,在这种语义学中讨论推演系统的完全性。并利用这种完全性简单地讨论怎样的推演系统是逻辑系统。
  一、从模态逻辑谈起

每个关系都可以转化为邻域映射,但并非所有的邻域映射都是由关系转化而来,所以模态逻辑的邻域语义学是比关系语义学更为广泛的一种语义学。
邻域语义学的意义在于它不仅能用于模态逻辑,而且能用于极大多数的命题逻辑。用以上类似的方法可以将广义模态逻辑、时态逻辑、相干逻辑、直觉主义逻辑(及其极小逻辑、初基演算等)、部分条件句逻辑(命题型的条件句逻辑)等逻辑系统的语义转化为邻域语义。
  二、形式语言
我们抽象地考虑命题逻辑的形式语言,它适合一切命题逻辑。
2.1定义 形式语言  一个(命题)形式语言由初始符号和形成规则组成:
初始符号 (1)命题变项;(2)命题常项集C;(3)命题算子集F。
命题变项有可数个,用p,q等表示。C的元素用a,b等表示,C可以是空集。F的元素用f,g等表示,每个f∈F,有元数n≥1,f称为n 元算子,F中至少有元数≥2的算子。
形成规则 (1)命题变项和命题常项是公式;(2)如果f是n元命题算子,

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