用户名:
    密码:
转播到腾讯微博

你的位置:首页 > 逻辑学

许涤非:经典数学的逻辑基础
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-05-31 点击: 1629 次 我要收藏

经典数学理论的逻辑完全是一阶逻辑还是也需要二阶逻辑?逻辑学家对此一直有争议。这种争议大约开始于20世纪20年代,但是似乎直到现在还未尘埃落定。在普遍接受反基础主义的前提下,数学基础的研究任务不再是为数学的各个分支寻找最大程度上免于理性怀疑的基础,而是在重构数学分支的过程中给出各个数学分支间的关系,描绘出数学的大图景。在这样的背景下,数学基础的研究不可避免地需要二阶逻辑。一阶逻辑与二阶逻辑的主张者都承认经典数学,这就使得他们与直觉主义的主张有明显的不同。一阶逻辑的主张者认为只有一阶逻辑才是经典数学的逻辑,本文则提出一种比较温和的二阶逻辑的主张,即认为除了一阶逻辑之外,二阶逻辑在数学基础研究中的作用亦不容忽视。
一、在反基础主义精神下理解数学基础
历史上主张经典数学的逻辑是一阶逻辑的逻辑学家主要有司寇仑(T. Skolem)、冯.诺依曼(von Neumann)、蒯因(W. V. O. Quine)等;主张二阶逻辑的逻辑学家主要有丘奇(A. Church)、策梅洛(F. F. F. Zermelo)、克雷斯(G. Kreisel)。当数理逻辑的发展进入到20世纪30年代,数理逻辑学家发现原来的某些促使逻辑学发展的基础主义动机无法实现了。当代的数学基础的研究都是在反基础主义立场下进行的。那么,应该怎样理解反基础主义下的数学基础的研究?
为了理解反基础主义,有必要指出基础主义是什么。一般认为,在数学哲学中,基础主义的观点是:为数学的每一个分支建立完全(绝对)安全的基础是可能的。这里“完全安全”的意思是,这个基础在最大程度上免于理性怀疑。在数学基础的研究史上,弗雷格的逻辑主义与希尔伯特的有穷主义是基础主义的两个代表。然而,数理逻辑的发展使得人们承认这两种基础主义的主张都无法实现,现在人们已放弃了基础主义。
上述两种基础主义的主张的共同点是都用公理系统来重构数学分支。它们都认为从公理出发,按照推理规则可以重构数学的知识整体;逻辑自身通过公理系统被明确,逻辑就是正确推理。二者的不同点主要在于认为什么基础是安全的,以及如何说明这个基础是安全的。对于希尔伯特的有穷主义来说,尽管许多数学分支超越了有穷,但是只有特定的“有穷”才是有意义的。数学基础的研究任务之一就是在一个演绎系统中重构出每一个合法的数学分支。一旦这个任务完成,接下来数学基础的研究任务就是确保这个演绎系统的每一个定理都对应于一个正确的关于有穷的陈述句。(Detlefsen, pp. 82-84)这就意味着希尔伯特的安全基础需要一致性的证明。然而哥德尔不完全定理说明这个一致性的证明无法用系统本身实现。所以希尔伯特所希望建立的绝对的有穷主义失败了。
弗雷格的逻辑主义的目标是要建立一个演绎体系,它自身的安全性不需要证明,因为弗雷格认为它是普遍并且自明的。(Detlefsen, pp. 59-60)这个演绎体系可以重构算术理论。然而罗素悖论宣告了这个演绎体系不是安全的,因为它有矛盾。
虽然希尔伯特的有穷主义与弗雷格的逻辑主义都失败了,但是数学家并未停止数学基础的研究,相反,上述主张留给后人的宝贵遗产使得数学基础研究的成果不断丰硕。当代数学基础领域的数学家以及逻辑学家不再把“为数学分支提供绝对安全的基础”作为己任,这主要因为他们的工作是重构数学分支,然而重构就意味着要承认原来数学分支固有的东西,在这个意义上是无法说明重构的东西要比原有的东西更为安全的。历史上的基础主义的失败使得数学家和逻辑学家更加谨慎地对待基础主义。他们已不像前驱者们那样“野心勃勃”了,而且卸掉了“基础主义”的负累后,他们的研究更为自然。在反基础主义的精神下,他们认为数学基础研究的主要任务是:绘制出“在什么样的原则下可以发展出什么”数学图景。证明论、递归论(反推数学)、集合论的现代发展都关注这样的问题。
就本文的主题而言,首先需要思考:辨别或者选择数学基础研究的一个逻辑是否违背反基础主义的精神?进一步地,如果有一个这样的逻辑,是否就预设了这个逻辑比那个逻辑“正确”?这个预设是否与反基础主义的主张相冲突?本文的回答是:选择数学的逻辑基础并不与反基础主义的精神相冲突,这是因为,哲学家或逻辑学家选择某种逻辑不是以这个逻辑更能最大限度地免于理性质疑为标准,而是以提供更好地反映数学性质的模型为标准。在这样的背景下,数学基础的研究离不开二阶逻辑。
二、主张一阶逻辑的理由及其不必要的“担忧”
一阶逻辑之所以被许多逻辑学家或哲学家所接受的一个原因,是一阶逻辑的语义与语法的完全的匹配性:一阶逻辑的语法后承与语义后承一致——一阶逻辑有语义一致性和完全性。但是这并不能作为一阶逻辑是数学的逻辑基础的理由。因为如果具有完全性是合法逻辑的标准,那么词项逻辑、命题逻辑也能成为数学研究的逻辑基础。但这显然是行不通的。
从历史的角度看,一阶逻辑不是出现于高阶逻辑之前。弗雷格的逻辑系统本身就是一个二阶系统。也就是说,一阶逻辑作为数学的“根”并不是研究者最初的愿望。对于一阶逻辑的出现,有人归功于莱文海姆(L. Lwenheim),因为他于1915年对“关系表达式”和“个体表达式”做了区分,认为后者只有个体变元;他的Lwenheim-Skolem定理关注的是莱文海姆系统的一阶部分。(Moore, pp. 120-121)希尔伯特1929年首先提出一阶逻辑的完全性的问题,它的证明由哥德尔1930年给出。一阶逻辑的出现与发展是数理逻辑发展史上的重要成果。而强调二阶逻辑在数学基础研究中的作用,根本不是要否认一阶逻辑的作用,相反,强调者认为一阶理论的研究成果对于二阶逻辑的研究非常重要。他们强调的是二阶逻辑对数学研究的“服务”作用,反对只承认一阶逻辑合法性的观点;同时,他们也认为二阶逻辑能够提供更好地反映数学性质的模型,它在反基础主义精神下的认识论也优于一阶逻辑。本文的第三部分将会详述这些观点。
既然一阶逻辑有这样的局限性,为什么一些哲学家或逻辑学家会拥护它?
先来看一看当代哲学家支持一阶逻辑的原因。蒯因认为二阶逻辑的语义学涉及到“类”的概念,这就使得逻辑超越了逻辑与数学的边界,而他认为数学和逻辑应有清楚的边界。一个理论的本体承诺是以这个理论的约束变元的取值范围而定的。约束变元的取值范围以内的都是理论在本体上可接受的。(Quine, 1970, p. 72)值得注意的是,蒯因是一个整体主义者,他认为逻辑、数学和科学之间没有清楚的边界,应用于科学理论中的数学对象也是科学理论所承诺的本体。(ibid, 1951, pp. 42-46)但是从蒯因的论证不能得出数学和数理逻辑之间应有清楚的边界。从数理逻辑的技术上看,一阶逻辑的语义学无不涉及数学的概念,比如函数等概念。因此,我们无法在数学与数理逻辑之间画出一条清楚的界限。
另一方面,一阶理论比如一阶算术理论,会涉及自然数上的函数,而函数本身也是一种关系,这样一阶算术理论也涉及个体域上的关系类。但是蒯因认为这不涉及承诺这些子类的本体论地位,因为这个理论并没有二阶约束的关系变元。然而对于二阶算术理论而言,约束关系变元的取值是所有个体域的关系类。简单说,主张二阶逻辑的人认为所有的个体域上的关系类都是合法的、清楚的。因为给定个体域,这个域上的所有子集是清楚的。但是主张一阶逻辑的人认为只有一阶可定义的子集才是清楚的。这是他们的第一个分歧点。
不可否认的是,二阶逻辑的语义学确实涉及集合论的知识,比如连续统假设是否是二阶有效的就是一个集合论问题,良序公理是否二阶有效也是一个集合论问题。从这个角度看,蒯因认为二阶逻辑披着“集合论”的外衣,因为它涉及“集合”的讨论,在论题上没有中立性,而逻辑应该在论题上保持中立,即它的有效性是不依赖于某些特殊的数学对象——如集合——的预设性质的。但是如果采用彻底的整体主义,认为数学与逻辑没有清楚的界限,某些命题的语义有效确实可以依赖于某个数学分支的特殊知识。(ibid, 1970, pp. 64-70)这样虽然二阶逻辑按照蒯因的解释,本体论承诺的东西增加了,但是不能因为本体论承诺的东西增加了,就否定二阶逻辑的合法性,毕竟一阶理论也涉及讨论个体域的子类。进一步地,由于逻辑与数学没有严格的界限,我们就可以从某些数学分支——集合论的成果,给出某些公式是否是二阶有效的评价标准。关于二阶语义是不清楚的批评也是牵强的,因为只要个体域确定了,所有个体域的子类就确定了,它们是清楚的。
司寇仑也是一阶逻辑的拥护者,他早在20世纪20年代就对二阶逻辑提出过批评。他主张公理化应是一阶的,因为他认为二阶语义是不清楚的,如上段所述。(Skolem, p. 517)这里的担心似乎是,当讨论子类时语义之所以不清楚,是因为我们对“类”的概念直觉上是不清楚的,罗素悖论以及素朴集合论就是这样的例子。
但是当罗素悖论发现时,对于戴德金、皮阿诺的逻辑工作并没有影响。因为二阶算术公理系统与二阶分析系统分别刻画了自然数结构和实数结构,然而却没有矛盾。只有素朴集合论与弗雷格的理论出现了问题。
在今天看来,只有把“逻辑集合”(logical sets)与“迭代集合”(iteration sets)搞混了,才会出现矛盾。“逻辑集合”是一个与语境有关的概念。当论域给定了,这个论域的所有子集都是逻辑集合。“逻辑集合”具有布尔结构。“全集”就是论域,逻辑集合的补就是论域与逻辑集合的差,它仍是逻辑集合。原子(urelement)的“迭代集合”构成了集合论的论域。迭代集合的直观就是集合的集合的集合……迭代集合不具有布尔代数结构。没有一个迭代集合有补。例如空集是迭代集合,但是没有全集,因为所有迭代集合的类不是迭代集合,它是一个真类。罗素悖论说明:存在一些“逻辑集合”不是“迭代集合”。弗雷格的“概念”类似于“逻辑集合”,尽管他区分了对象和概念,但是他又把每一个概念与一个对象相联系,也就是每一个概念的外延也是一个对象。这样“不属于自身”是一个谓词,它可以确定一个概念(弗雷格的内涵公理),这个概念的外延是一个对象。(Detlefsen, p. 62)那么根据他的公理5,这个概念的外延属于这个概念的外延,当且仅当它不属于这个概念的外延。这样就得到罗素悖论。此时弗雷格就是把概念的外延又看作了对象,混淆了“逻辑集合”与“迭代概念”。类似地,集合论的悖论,比如最大序数悖论,也是混淆了“逻辑集合”与“迭代集合”。
如果重构数学理论的目的不再以寻找安全的基础为目的,而且仔细处理“逻辑集合”与“迭代集合”的区分,就不会有问题。主张二阶逻辑的学者并不否认二阶语义不像一阶语义那样明确,因为它确实涉及“集合”。但是不能否认直觉在数学中的作用。我们可以坚持关于子集的直觉上的概念,提供某些数学结构的二阶理论刻画。
如果按照司寇仑的观点,所有公理化都应是一阶的,就会产生相对主义的结论,即理论可以有不同构的模型,每一个范畴性的证明只能在同一个模型中得到证明。比如一阶算术有非标准模型,它与标准的算术模型不同构,但是在ZFC中,一阶算术结构都是同构的。也就是说,一阶理论自身并不能决定哪个才是真正的“算术模型”。相对主义的观点也蕴涵着某种怀疑论的主张,即没有“真正的”算术模型、实数模型、ZFC模型。对于这种相对主义或怀疑论的观点,多数数学家是不接受的。
一些哲学家还给出一阶逻辑的后承关系在认识论上的重要意义,以此作为主张一阶逻辑的理由。后文对此有重点评论。
三、主张二阶逻辑的理由
本部分重点讨论:从数学基础研究的结果论证二阶语言,确实可以提供更好的数学性质的模型;二阶理论的认识论要比一阶理论的认识论更加自然。
这里有一个很自然的疑问,为什么数学家或哲学家只是支持一阶逻辑或二阶逻辑,而不主张三阶逻辑,或n阶逻辑?实际上二阶逻辑与高阶逻辑没有实质上的不同。夏皮罗证明了如下事实:在某种意义上,高阶逻辑可以还原为二阶逻辑。(Shapiro, chap. 6)这是因为二阶逻辑足够刻画类与其元素间的属于关系。这样,高阶的逻辑关系都可以在二阶逻辑中被模拟。限于篇幅,有关的证明这里不再叙述。如果我们发现二阶语言可以模拟所有高阶语言,那么二阶语言就包含了元理论所需要的足够素材。下面从两个方面来论证二阶逻辑的益处:首先,二阶逻辑在数学基础的实践中确实有“服务”的作用;其次,二阶逻辑可以提供更为自然的认识论。
1.数学基础研究的实践对二阶逻辑的支持
首先,我要论证的是一阶语言表达力的贫乏。这包括一阶语言无法表达某些重要的数学性质,而这些性质是刻画某些数学结构的重要方面。下面只是举出几个例子,它们与自然数结构、实数结构有关。结论是一阶逻辑无法刻画某些数学结构,而二阶逻辑可以刻画这些数学结构。其次,我从模型嵌入的技术,说明二阶语言在这种技术上的必要性。
(1)一阶语言对于某些重要的数学性质“无力”表达。一阶语言无法表达某些重要的数学性质,相反,二阶逻辑能够表达这些性质。
定理 任意一阶语言的所有有限结构组成的类不是初等类。
一阶语言的良基结构的类不是初等类。
一阶语言的良序结构的类不是初等类。这些定理的证明在许多教材中都可见到。(参见叶锋,第163-164页)这些结果表明一阶语言不能表达有穷性、良基性、良序性。它们的证明都是相似的,主要用紧致性定理证明。
但是在数学实践中,数学家会讨论有穷结构,比如有穷群,这样用一阶语言就无法刻画有穷群的结构,也就是说用一阶语言无法给有穷群理论形式化。同理,良序结构、良基结构也无法用一阶语言刻画。但是这些性质在二阶语言中都能表达。
由一阶逻辑的Lwenheim-Skolem向上定理决定了无穷结构是无法用一阶语言刻画的。
Lwenheim-Skolem向上定理 设A是一阶语言L的无穷结构,则对任何基数

文章的脚注信息由WordPress的wp-posturl插件自动生成


分享到:

标签 :
版权声明:版权归 哲学网:哲学学术门户网站,Philosophy,哲学家,哲学名言大全 所有,转载请注明出处!

转载请保留链接: http://www.zhexue.org/f/logic/4095.html

已有 0 条评论
关于我们 | 图站地图 | 版权声明 | 广告刊例 | 加入团队 | 联系我们 |
哲学网编辑部 未经授权禁止复制或建立镜像,采用Wordpress架构,采用知识共享署名进行许可
官方邮箱:admin#zhexue.org (#换成@)索非制作|优畅优化|阿里云强力驱动
ICP证号:沪 ICP备13018407号
网站加载0.989秒
知识共享许可协议