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张家龙:罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-05-31 点击: 1105 次 我要收藏

20世纪初,在逻辑和数学中发现了许多悖论,包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论)。这些悖论动摇了数学的基础,史称第三次数学危机。为了解决这一次数学危机,罗素提出了逻辑主义的纲领,并得到一些著名的逻辑学家的支持,成为数理逻辑中的三大学派之一。本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。
一、数学概念和数学定理的推导
罗素的逻辑主义包含两个部分:(1)数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来;(2)数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算)由逻辑公理推导出来。罗素所使用的逻辑概念有:命题联结词(否定,析取,合取,蕴涵);函项和量词(全称量词和存在量词);等词。
弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数,而罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果。这种方法的关键在于,自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性(按罗素的定义,数是某一个类的数,而一个类的数是所有与之相似的类的类)。其它种类的数——正数、负数、分数、实数和复数,不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的,而是通过构造一种全新的定义域来实现的。罗素在将数的概念向前推广时,认为自然数并不构成分数的子集,自然数3与分数3/1不是等同的;同样,分数1/2同与它相联系的实数也不是等同的。关于正负整数,罗素认为,+1与-1是关系,并且互为逆关系。+1是n+1对n的关系,-1是n对n+1的关系。一般地,如果m是任何归纳数,对任何n而言,+m是n+m对n的关系,-m是n对n+m的关系。+m与m不同,因为m不是一个关系,而是许多类的一个类。m/n被定义为,当xn=ym时,二归纳数x和y之间的一个关系。m/1是x,y在x=my情形下所具有的关系。这个关系如同关系+m一样决不能和m等同,因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西。罗素说,在实用上,只要我们了解分数1/1和基数1并不相同,就不必常常拘泥于这个区别。正负分数可以用类似于正负整数的方法而定义。实数的定义比较复杂一点。罗素发展了戴德金的实数论,作出了实数的定义。首先定义分数之间的大于或小于关系。给定两个分数m/n和p/q,如果mq小于pn,则m/n小于p/q。这样定义的小于关系是序列关系,因而分数形成以大小为序的序列。戴德金证明了,有理数以明显的方式与分数相对应,无理数对应于分数序列的“间隙”。例如,把正分数分成两类:所有平方小于2的分数组成一类;其余分数组成另一类。这种分法就形成分数序列的一个“分割”,它对应于无理数。因为不存在其平方等于2的分数,所以第一类(“下类”即较小的一类)不包含最大的元素,第二类(“上类”即较大的一类)不包含最小的元素。因此,每一个实数都对应于分数序列的一个分割,分割中的间隙对应于无理数。
这样,罗素把实数定义为:分数序列中相应分割的下类。例如,是其平方小于2的那些分数的类;1/3是所有小于1/3的分数的类。由这些定义,整个实数算术都可以导出。这里,实数的定义是“构造的”。一个复数可以简单地看成是有先后次序的一对实数。
构造主义的方法是逻辑主义的一个重要部分。逻辑主义者用类似于定义实数的方法引进其余的数学概念。例如,分析中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分,集合论中的超穷基数、序数。
罗素在推导数学的过程中发现,除逻辑公理外,还需要另外的一些特殊公理,即无穷公理和乘法公理(选择公理)。无穷公理是说,若n是一个归纳基数,则至少有一个类有n个个体。由此得到:如果n是一个归纳基数,并且至少有一个类有n个分子,那么n不等于n+1。无穷公理保证了确有一些类有n个分子,于是我们才能断定n不等于n+1。没有这个公理,可能n和n+1都是空类。乘法公理是说,对于不相交的非空集合所组成的每个集合至少存在一个选择集合,也就是说这个集合与每一个集合恰好有一个共同元素。
二、逻辑类型论
为了解决悖论,并实现逻辑主义论题,罗素提出了逻辑类型论。罗素在1903年出版的《数学的原则》(The Principles of Mathematics)一书中最早提出类型论;而在1908年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和1910—1913年与怀特海合著的《数学原理》中,则全面系统地论述了逻辑类型论。逻辑类型论分两部分:简单类型论和分支类型论。简单类型论同分支类型论是结合在一起的,但又具有独立性,并与下面将要说到的恶性循环原则无关。简单类型论的中心思想是,把类或谓词分为不同的层。
第0层谓词:包括一切个体(个体常项和变项),这些实体的类型记为0。
第1层谓词:这是取个体为变目的谓词,包括个体的属性、个体之间的关系。前者的类型记为(0),后者的类型记为(0,0),(0,0,0)等等。
第2层谓词:其空位被个体或第1层谓词填补,并且至少出现一个第1层谓词作为变目。第2层谓词也根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型。个体属性的属性,其类型记为((0)),二元谓词(关系)的一个属性,其类型记为((0,0)),等等。
第3层谓词、第4层谓词等等可类推。一个谓词如果其变目属于≤n层并且至少有一个变目是第n层的,那么它便属于第n+1层。第i层谓词能够有意义地述说第j层谓词,当且仅当i=j+1。第j层谓词不能有意义地述说同层的谓词。在逻辑系统中引入简单类型论以后,罗素悖论等逻辑悖论就可以消除,因为这些悖论的发生是由于混淆了不同层的谓词所致。例如,在罗素悖论中,定义类的谓词记为

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