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熊惠民:哥德尔不完备性定理的科学哲学透视
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-08-06 点击: 1454 次 我要收藏

作为20世纪数学理论最重要的成果之一,哥德尔不完备性定理被誉为“数学和逻辑发展史中的里程碑”[1]。哥德尔定理的提出不仅具有数学意义,而且蕴含了深刻的哲学意义。历史上从来没有哪一个数学定理能够如它一样,对人类文明产生如此广泛而深远的影响。随着科学技术的进步,哥德尔思想的深刻性和丰富性,必将在人类理性的发展过程中不断突显出来,并不断为人的思维所理解。

哥德尔不完备性定理是数理逻辑学中论述形式公理化系统局限性的两条重要定理,它由伟大的奥地利数学家哥德尔于1931年提出。哥德尔写道:“众所周知,数学朝着更为精确方向的发展,已经导致大部分数学分支的形式化,以致人们只用少数几个机械规则就能证明任何定理。因此人们可能猜测这些公理和推理规则足以决定这些形式系统能加以表达的任何数学问题。下面将证明情况并非如此。”[2]
哥德尔第一条定理指出,若形式系统是相容的,则此系统必定是不完备的。也就是说在系统中的一个有意义的命题,既不能用系统中的公理和推理规则加以证明,也不能用系统中的公理和推理规则加以否证,即成为不可判定的命题。那么有什么命题是不可判定的呢?哥德尔第二条定理说,上述形式系统的相容性就是不可判定的。
以前数学家总以为:如果某个命题是正确的,一定可以用数学演绎方法证明其为真;如果某个数学命题是错误的,也一定又可以用数学演绎方法证明其为假。正如法国数学家庞加莱所说:“在数学中,当我拟定了作为约定的定义和公设以后,一个定理就只能为真或为假。但是,要回答这个定理是否为真,就不再需要我们将要求助的感觉证据,而要求助于推理。”[3]哥德尔不完备性定理的建立一举粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们,真与可证是两个概念[4]。“可证性”涉及到一个具有能行性的较为机械的思维过程;而“真理性”则涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此,可证的一定是真的,但真的不一定可证。从这个意义上说,悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎著名数学家外尔发出这样的感叹:“上帝是存在的,因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的,因为我们不能证明这种相容性。”[5]266

哥德尔的结论是划时代的,著名物理学家惠勒在1974年发表的一篇文章中就曾断言:“即使到了公元5000年,若宇宙仍然存在,知识也仍然放射出光芒的话,人们就将仍然把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”[1]哥德尔思想具有潜在的科学和哲学价值,它已经被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落,对数学、逻辑、语言、人工智能、自然科学、思维科学和认识论的研究提供了有益的启示。
第一,哥德尔不完备性定理深刻地揭示了形式系统的内在局限性。这种局限性是由形式系统的本质所决定的,是不可克服的。因为一个形式体系的无矛盾性在本质上是超越这个形式体系的。它处在一种两难境地:或者允许在逻辑思维中有矛盾存在,或者承认存在着逻辑方法证明不了的本逻辑系统内部的问题。因此,那种希望把数学搞成一个形式化系统,希望所有的猜想都能从逻辑出发加以判定,希望永远不发生“出乎始料”的事,是不可能实现的。数学不等于逻辑,重要的数学成果并不总是能从公理直接逻辑地推出,数学的神奇之处主要扎根于观察、直觉和灵感。
事实上,不论是作为科学认识前提的公理、假设,还是在一定前提下的逻辑推理,都有其预设的不可证明的信念。人类认识世界总在一定的信念指导下的逻辑展开,并在获得新知识的过程中不断扩展着对世界新的观念。因此,信念的合理性是相对的,它要随着认识的深化而不断发展变化。在信念转化为知识的过程中,真正起作用的是科学家的非机械的、非逻辑的智力创造,逻辑的一致性只是一种理想的指向和要求。
第二,哥德尔不完备性定理也进一步揭示了人工智能系统的局限性,从本质上证明了机械论、还原论是错误的。按照他们的观点,精神活动过程同机器执行程序一样,不过是在从事某种良定义的被称为“算法”的运算过程,而人脑和简单的计算机的主要差别仅仅在于人脑活动具有更大的复杂性,或者表现为更高级的结构,人的所有精神品质,包括思维、情感、智慧、意识都不过是大脑执行的“算法”特征而已。
但是,人脑终究不能解释成机器,计算机绝不可能超越人类心智。“因为,无论我们构造出多么复杂的机器,只要它是机器,就将对应于一个形式系统,就能找到一个在该系统内不可证的公式而使之受到哥德尔理论的打击,机器不能把这个公式作为定理推导出来,但是人心却能看出它是真的。因此这台机器不是心的一个恰当模型。我们总想制造心的一种机械模型,即从本质上是‘死’的模型,而心是‘活’的,它总能比任何形式的、僵死的系统干得更好”[6]。这也诚如英国数学家、物理学家罗杰.彭罗斯所说,人类判断数学真理的过程是超越任何算法的,因为,意识是我们赖以理解数学真理的关键,这种意识是我们能够借直觉的洞察力“看出”某些在数学形式系统中不能证明的数学命题的真理性,而意识是不能被形式化的,它必定是非算法的。因此,计算机不过是强人工智能专家所钟爱的一副“皇帝新脑”而已[7]。
第三,数学是科学的基础,数学的不完备性说明科学结论也是不完备的。自从近代科学开始自然的数学化努力以来,科学问题就是被数学编码的问题,科学结论就是被数学化的结论。正是由于作为科学的语言、模式、方法和工具的数学本身的不完备性,导致了由它所表述、绘制的科学结论的不完备性。
科学结论的不完备性具有重大的科学价值。科学结论的不完备性预示着存在着许多不可解的科学问题或否定性的科学结论,从而产生了一大批限制性成果。如,计算机与人工智能之父图灵证明没有一个程序能够证明检验任何程序是否将在某个时候停止(即停机问题)。
科学结论的不完备性还有着独特的哲学意义。正如我国著名科学家郝柏林院士所言,“否定比肯定更具普遍性”[8]。在科学上,一个否定性结论的形成往往标志着一个新科学方向的产生。认识到绝对温度零度不能达到,恰恰是低温物理学的开始;认识到质点不能超光速运动,正好是相对论的开端;认识到测不准原理,恰好是量子力学的诞生;如今,又是由于不确定性、不可预测性现象的发现,一门全新的复杂性科学正在蓬勃兴起。
第四,哥德尔不完备性定理从科学的层次上揭示了人类认识的局限性。在回答有关自然和人类社会的问题上,许多人似乎从来就没有经过认真地思考便不由自主地接受了人的心智或认知能力是没有根本性限制的观点。但是,自己的创造物正是反观自己的最好镜面,数学作为人类心智与理性的产物,正好反观了人类认知的局限性或不完备性。形式系统的不完备性必然根源于它的创造者的不完备性。
人类心智与理性的不完备性也是基于人类及其心智和理性均是生物进化的产物这一基本认识的必然推断。只要人们承认这一进化论的结论,那么就不难认识到,人类的心智与理性是受制于进化水平的。也就是说,人类进化到什么程度,其心智与理性便达到什么水准,它们是处在一个不断进化的过程之中的,它们本身就是人类生命的一个有机组成部分。这样一来,任何一个特定历史阶段,人的心智与理性水准都是有限的,它不可能穷尽无限,达到全知。心理与理性的这种有限性或局限性,必然通过自己的不完备的创造物得以显现。

哥德尔定理也同样震撼到西方以笛卡尔、洛克为代表的基础主义知识论传统。长期以来,知识的确定性是人类认识客观世界所坚守的信条。罗素就曾经说过:“我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性。”[5]230人们普.遍认为,真正的知识不同于意见或主观信念,它是绝对确定的、必然的真理,不容置疑。这一根深蒂固的观念始于柏拉图对知识的探询。他认为知识源于独立于时空之外的、不可知觉的理念世界,而在理念世界中的事物是永恒的、确定不变的,因此知识是确定的、可靠的、真实的。而意见或信念却源于可感知的现象世界,现象世界中的事物是短暂的、流变的、不确定的,因此意见或信念是不可靠、不确定的。两千多年来,人们的认识总是在思维中舍弃对象世界和自身的不确定性的因素,通过思维中的确定性来建构对象世界的确定性,从而达到对对象世界的确定性认识。
数学知识的确定性、绝对性和永恒性观念有着悠久的历史传统。欧几里德几何学曾经代表了认识追求确定性的不可抗拒的尊严。自古希腊确立理性主义的认识方式以来,认识总是追求具有普遍必然性的确定性知识。理性主义知识论者笛卡尔更是将数学视为知识的唯一范式,“因为它的立足于公理上的证明是无懈可击的,而且是任何权威所不能左右的。数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法”[9]6。
知识的确定性观念伴随着数学强大无比的对自然现象的阐释力被进一步强化了。拉普拉斯甚至说,“世界的未来是完全由它的过去决定的,而且只要掌握了这个世界在任一给定时刻的状态的数学信息,就能预报未来”[9]230。正是由于先贤建构并确立了追求确定性知识的科学认识的思维方式并形成传统,后来的哲学家总是寻求对所获得的科学知识进行普遍必然性的逻辑辩护。直到今天,确定性依然是绝大多数人心目中科学之为科学的本质特征。这是传统知识论的主题,也是科学哲学的主题。
但是哥德尔不完备定理说明,不确定性是人类认识的形式逻辑思维本身固有的。即使纯粹数学也无法彻底达到确定性,进一步,数学概念和理论如果结合于人们的实际经验和科学观察,就会产生更大的不确定性。因而,在任何认识中绝对的确定性是没有的。“哥德尔直言不讳地说过,我们没有任何绝对确定的知识。言外之意,哪怕极其简单的事情,我们也无绝对把握说自己完全捕获了堪称终审法庭的客观实在”[10]。克莱因对此总结为,“人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变,…。现在我们知道,数学已不再受到普遍尊重和景仰。数学曾经被认为是精确论证的顶峰,真理的化身,是关于宇宙设计的真理”[5]序。“这可能是本世纪某些人声称的数学的一大特征,即其结果的绝对确定性和有效性已丧失”[5]269。著名物理学家霍金则诙谐地说:“上帝不仅掷骰子,有时他还把骰子扔到了找不到它们的地方。”[11]
承认知识的不确定性,对建立正确的科学观有何重要意义?我们认为,科学上的结论其实并不具有许多人所坚持的本体论意义,而只具有认识论意义。这就是说,我们反对把科学结论看作是对真实世界的终极反映,相反,科学结论只是人们用心智与理性构建的自然图景。具体说,相对论中的质点不能超光速运动,只是相对论自然图像中的表象,它与真实世界中的物质是否可以超光速运动并不相干,或者说,它并不能排斥真实世界中(可能存在的)物质的超光速运动。量子力学中的测不准原则,也只是量子力学自然图景中的表象,它并不排斥真实世界中的粒子总是存在着确定的位置和速度,只不过人们无法同时测量出它们的精确值。如今混沌学、复杂性科学中所揭示出的一些不可计算、不可预测现象,依然是自然图景中的表象,不可计算,不可预算,只是在认识论意义上反映了人的认知的一种缺陷,这丝毫不影响真实世界本身的“计算”。“自然界不是存在着,而是生成着并消逝着”[12]。无论人类为它绘制的图景是不是像,它都毫不在乎,并自在地生成着,消逝着。图景只于绘制它的人类有益。
但另一方面,绝对确定性知识的不可能与知识不确定性的凸现,并不意味着知识论的“死亡”,而是知识论的“新生”。知识的确定性应由此获得新的意义,它可视为人类理性的一种理想追求。知识“尽管并不是完美的佳作,即使不断完善也未必能去除所有的瑕疵,然而它是人类与感性知觉世界之间最有效的纽带”[5]366,“就知识的确定性而言,数学是一种理想,我们为这一理想而奋斗,尽管我们也许永远不会到达。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影,它是如此无止境地难于捉摸。然而理想具有力量和价值,公正、民主和上帝都是理想。的确,也有在上帝的幌子下被谋杀的人,审判不公的案件也臭名远扬,但是,这些理想是千百年来文化的重要产物”[5]366。
因此,追求绝对确定性知识的不可能,并不意味着我们在知识的可靠性上,一定要采取一种彻底怀疑主义的态度。怀疑主义虽给我们提供了更深更广的思想空间,但它的假设性前提——知识如没有绝对正确的把握就不应产生,也是不现实的。世界上虽没有那种不容置疑的绝对确定性知识,但知识也不是非要有这种不容置疑的绝对确定性不可。因为,尽管我们对任何事物的认识随时都会犯错误,但是我们的认识毕竟在这样的易谬论中真的前进了。知识的历史,就是人类不懈追求知识的绝对确定性而逐步显现知识的不确定性的历史。
【参考文献】
[1] 郑毓信.不完备性定理:一切知识的中心——读《GEB——一条永恒的金带》[J].读书,1985(8):12-16.
[2] Kurt Gdel. On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems[M]. Mineola, NY: Dover Publications, 1992.
[3] 郝宁湘,郭贵春,数学:我们能够对你说些什么?[J].科学技术与辩证法,2004,21(1):30-34.
[4] 陈慕泽.正确理解哥德尔不完备性定理[J].湖南科技大学学报:社会科学版,2008(2):27-30.
[5] M.克莱因.数学:确定性的丧失[M].李宏魁,译.长沙:湖南科学技术出版社,1997.
[6] Lucas, J. R. Minds, Machines and Gdel[J]. Philosophy, 1961(36):112-127.
[7] 罗杰.彭罗斯.皇帝新脑——有关电脑、人脑及物理定律[M].许明贤,吴超忠,译.长沙:湖南科学技术出版社,1994.
[8] 郝柏林.混沌与分形[M].上海:上海科学技术出版社,2004.
[9] M.克莱因.古今数学思想:第2册[M].北京大学数学系数学史翻译组,译.上海:上海科学技术出版社,1981.
[10] 王浩.哥德尔[M].上海:上海译文出版社,1997.
[11] S.W.霍金.果壳里的60年[M].李泳,译.长沙:湖南科学技术出版社,2005.
[12] 恩格斯.自然辩证法[M].于光远,等译.北京:人民出版社,1984.
(原载《武汉理工大学学报》2008年3期。)

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