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陈晓平:试验机制无差别原则及其条件——关于无差别悖论的一种解决
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-08-06 点击: 1149 次 我要收藏

无差别原则(the Principle of Indifference)是确定基本概率的原则之一,它在概率论和统计学中占居重要的地位。不过,一个有趣的现象是,人们对于无差别原则的质疑正如人们对它的使用一直没有间断。无差别原则的致命缺陷在于它会导致逻辑悖论,即无差别悖论。
一、无差别原则
“无差别原则”这个名称得自于现代归纳逻辑的创始人之一凯恩斯(John M. Keynes),但是事实上这个原则几乎是伴随概率概念一道出现的。早在18世纪初概率论处于草创阶段,概率论的先驱者之一J.伯努利(Jakob Bernoulli)就把它命名为“不充分理由原则”(the Principle of Non-sufficient Reason)。大约一个世纪以后,古典概率论的集大成者拉普拉斯(Pierre S. Laplace)把它正式地作为概率论的理论基础。
古典概率概念是以“等概事件”(equally possible cases)为初始概念的,古典概率的定义是:P(A)=m/n,意为:事件A的概率等于A所包含的m个基本事件在全部n个基本事件中所占的比例,而基本事件的概率是相等的。那么,如何确定基本事件的等概性呢?拉普拉斯告诉我们:“概率是相对的,部分地相对于我们的无知,部分地相对于我们的知识。我们知道在三个或更多事件中有一个将要发生;但是没有什么能使我们更为相信其中某一个事件而非其他事件发生。在这种不确定的情形下,我们不可能确定地宣称它们的发生。”([1] p.6)这也就是说,我们的知识或无知使我们无法对所讨论事件的可能性持有倾向性意见,即认为哪一个比哪一个更可能发生,那么我们就应该赋予这些事件以相等的概率。基本事件的等概性成为我们计算其他事件概率的基础。请注意,拉普拉斯确定等概事件的依据包含了人们的无知;换言之,相等的知识或相等的无知都是确定等概事件的理由。显然,这种确定等概事件的原则是对伯努利的不充分理由原则的继承,具有认识论的甚至主观主义的色彩。
然而不幸的是,这样表述的无差别原则(不充分理由原则)很容易导致逻辑悖论。拉普拉斯注意到这一点并给出他自己的解答。他举出一个例子:A女士被告知一枚硬币是有偏向性的,但却未被告知偏向哪一面,并且被要求说出这枚硬币投掷后正面朝上的概率。一方面,A女士根据无差别原则判定这枚硬币正面朝上和反面朝上的概率均为1/2,既然她对这枚硬币倾向于哪一面的问题是完全无知的。另一方面,A女士有理由说:这枚硬币正面朝上的概率不为1/2,既然已知它是有偏向性的。这样,对于这枚硬币正面朝上的概率P就有两种相反的答案:P=1/2和P11/2,这是一个逻辑悖论。对于这个逻辑悖论,拉普拉斯的解答就是坚持前者而放弃后者。(参见[1],p.56)这一解答无异于是对无差别原则的无条件地维护,难免是武断的和缺乏说服力的,并没有从根本上解决问题。事实上,由无差别原则导致的逻辑悖论层出不穷,以致后来的凯恩斯不得不认真地对待这一问题。
在维护无差别原则这一点上,凯恩斯同拉普拉斯是一致的,因为凯恩斯也认为量化的概率只有通过等概的候选者来得到。凯恩斯对无差别原则的最初表述是:“无差别原则宣称,如果没有已知的理由对我们题目中的一个候选者做出比其他候选者更强的断言,那么,相对于这样的知识,关于每一个候选者的断言有着相等的概率。”([2],p.42)这一表述同拉普拉斯和伯努利的意思是基本相同的,不过,面对由它所引起的各种逻辑悖论,凯恩斯给予更多的考虑和更为认真的对待。
二、无差别悖论
凯恩斯则对于由来已久的无差别悖论做了比较集中的表述。这里介绍其中有代表性的三个,即书悖论、酒-水漏悖论和随机弦悖论。[①]
首先讨论书悖论。某人要去某个陌生的图书馆取一本他从来没有看到过的书,他考虑这本书的封面是红色的概率是什么。他没有理由在这本书是红的和这本书是非红的之间做出倾向性的意见,根据无差别原则,他赋予概率P(红)= P(非红)=1/2。按照同样的推理方式,他对于这本书是蓝的、绿的或黄的均赋予概率P(蓝)=1/2,P(绿)=1/2和P(黄)=1/2,这些概率之和大于1。然而,这本书是红的、蓝的、绿的或黄的这些断言之间是互斥的,根据概率演算规则,互斥事件的概率之和小于或等于1。这便同前面的概率赋值发生冲突。
其次讨论酒-水悖论。有一瓶酒和水的混合液,对它我们只知道其中两种液体的比值不超过3:1,至于哪个多哪个少以及其他信息一概不知。由此我们能够确定酒对于水的比例在区间[1/3,3]之内,即1/3≤酒/水≤3,但是具体在哪一点上我们没有理由持有倾向性意见。根据无差别原则,酒对水的比例的概率是均匀分布在区间[1/3,3]之上的。相应地,酒对水的比例不超过2的概率是均匀地分布在区间[1/3,2]之上的。因此,后者的概率是:
P(1/3≤酒/水≤2)=
同理,水对酒的比例也是在区间[1/3,3]之内,即1/3≤水/酒≤3,并且其概率均匀地分布在该区间。相应地,水对酒的比例不小于1/2的概率均匀地分布在区间[1/2,3]。因此,后者的概率是:
P(1/2≤水/酒≤3)=
我们知道,水对酒的比例在区间[1/3,3]内不小于1/2与酒对水的比例在该区间不大于2恰好是同一事件,但却被无差别原则赋予两个不同的概率值。
最后讨论随机弦悖论,它属于几何概率悖论。这个悖论略为复杂,是由伯特兰(J. Bertrand)于1889年提出。对一个确定的圆随机地挑选它的一条弦,现问这条随机弦的长度大于该圆的内接等边三角形的边长的概率是什么?这一概率记为P(CLSE),对它的计算可以根据无差别原则以三种方式来进行。
从图1可以看到,延长YO与XZ相交于W,OWZ是一个直角三角形,并且XW=WZ。此外,OW=R.sin300=R/2。我们可以依据这些几何学事实来给出第一种计算。图2中的线段AB代表一条随机弦,OW从圆心出发垂直于AB并与圆相交于C。结合图1给出的几何学事实可知,AB的长度大于内接等边三角形的边长,当且仅当,OW<R/2。然而,我们没有理由倾向于设定W在OC的某一点而非其他点上。根据无差别原则,W在OC上各点的概率分布是均匀的,相当于OW的长度在区间[0,R]上的概率分布是均匀的,显然,
P(CLSE)=P(OW<R/2)=1/2
       B

A
       x
图2:P(CLSE)的第一种计算
图1: 一个等边三角形内接在圆心
为O半径为R的圆内

关于P(CLSE)的第二种计算可以参考图3,其中AB是一条随机弦,AA¢A2是内接于该圆的等边三角形。在圆周上的A点画一条切线,

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