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王幼军:近代数学兴起中的宗教因素
录入: 哲学网编辑部 发表时间: 2013-10-22 点击: 1011 次 我要收藏

近代数学的本质是变量数学,变量数学产生的第一个标志是16世纪韦达的符号代数学,[1] 其后17世纪解析几何的建立,微积分的勃兴,以及18世纪分析学的发展则是近代变量数学取得的最重要的成果。19世纪几何学、代数学、分析学等领域的一系列的重大突破,以及复变函数论、抽象代数、拓扑学、数理逻辑、集合论等新学科的产生则是近代数学成熟的标志。从16世纪到19世纪这短短300多年的时间里,数学所取得的成果远远超过了以往所有时期数学成果的总和,其发展速度之快、范围之广、成就之大无不令人感到震惊,浏览近代数学波澜壮阔的精彩历史画卷时,一种为人类的智慧所达到的不可思议的成就而震惊的情感油然而生。这段激动人心的历史不由地引出了一个令人深思的问题:在当时的欧洲出现了什么使得数学发生了如此巨大的变化,或者更具体一点说,近代数学的兴起为什么发生在一个特定的地点即欧洲,和一个特定的时间,而没有发生在任何其他的地方或其他时代?在对于这个被科学史界广泛瞩目的问题的讨论中,一般认为是15、16世纪的欧洲在冲破了中世纪的宗教思想束缚以后,随着文艺复兴和资本主义的兴起,科学中数学化趋势的增长等因素促使了数学本身走向繁荣,在这个过程中希腊思想的传入是近代数学产生的主要源泉,或者说近代数学是希腊数学的进一步发展。
上述观点大部分是正确的,然而并不全面,因为它忽略了欧洲文明的另一主要渊源——基督教在近代数学兴起过程中的重要作用。读近代数学的历史,给我们以强烈印象的是这样一个现象:对于上帝的赞美几乎成为这一时期每一位科学家、数学家众口一词的行为。[2] 对于这种现象,有人这样解释:在众多追求真理的科学家和数学家的心灵深处,科学与真理才是他们真正钟情的,只是为了使数学和科学研究合法化而不得不举起上帝的旗号。这种带有主观色彩的、一相情愿的解释,未免有些牵强附会。它起码忽视了这样一个事实:在近代科学与数学兴起和发展的时代,宗教是当时欧洲社会中最强大的力量,近代数学的先驱们,像韦达、开普勒、伽利略、笛卡儿、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨都怀有强烈的宗教情感。因此,解释与事实之间的矛盾需要我们重新审视过去的关于基督教与近代数学的关系的某些结论。既然如此,我们就不得不面对这样一个问题:基督教在近代数学的兴起与发展中到底起了什么作用?要回答这个问题,首先必须从基督教与数学的关系谈起。
一、早期基督教世界中的数学
著名数学家、哲学家怀特海在《科学与近代世界》[3] 一书中谈到中世纪思想以及基督教神学对于近代科学的起源的贡献时指出,近代精神的显著特点是相信事实和相信规律的结合,这一点是建立在相信自然界存在着规律的基础上的,他说:“如果没有一种本能的信念,相信事物之中存在着一定的秩序,尤其是相信自然界中存在着秩序,那么现代科学就不可能存在。”怀特海认为这种信念最初来源于古希腊人的悲剧精神,即认为命运是冷酷无情的,它驱使着悲剧性的事件无可逃避地发生。希腊人对自然的看法本质上与此类似,自然界亘古不移地遵守某个理想的方案或规律。秩序这个概念后来受到斯多噶学派的推崇,并为罗马法所加强。在罗马帝国灭亡之后,这种法律秩序的观念仍然存在于民族传统中。中古世纪在规律方面的见解为中世纪西欧的知识铸成了一个很长的训练期,使之发展成为一个理性主义的时期。在中世纪,秩序的思想是和对神合理性的坚定信念合而为一的,运用理性工具论证信仰是中世纪经院哲学的一个典型特征,它相信每一事物都受到神的监视并被置于一种秩序之中,而研究自然的结果只能证实对理性的信念。正如意大利人文主义者乔瓦尼.皮科(Giovanni Pico della Mirandola, 1463-1494)所说:“大自然就是秩序,就是经过和谐调节后的多样化了的统一性。这种和谐统一性的表现就是承认万事万物中存在着理智的联系和逻辑的推导。”
对秩序与理性的重视导致了数学并未被中世纪的神学家们所忽视,实际上,古代数学知识的保存许多是由修士们保存下来。并且在中世纪的主要课程“七艺”(算术、音乐、几何、天文、文法、修辞和逻辑)中有四门与数学有关,[1] 尽管此时数学的水平相当浅显,但是在中世纪这样一个仍然同基本的阅读力进行抗争的社会来说,数学也应属于居于重要地位的知识之一。数学之被重视的原因何在?美国科学史学家汉金斯认为,[4] 基督教文化中重视数学的传统是由于人们对于上帝与理性的理解有关。中世纪的学者把所有的方案和行为都归于上帝,他是设计者和创造者,而且所有的自然界行为都遵循他制订的规则,宇宙是他的杰作,是他的意志的产物。上帝创造的宇宙是有法则、有秩序的,而人的职责则是运用“理性”去发现宇宙的秩序与法则。所谓理性一般是指正确方法的关键,它也指自然界的秩序,也表示逻辑上有效的论证,就像数学中的论证那样,所以,数学一直被作为秩序和理性的典范。数学的确定性、严格性和广泛的有效性也有助于人们发现作为“自然的设计者”和“宇宙第一因”的上帝,以及更好地理解“上帝之书”。[5] 并且更进一步,人们开始把数学知识看作上帝的造物,是他专用之来表述其真理的知识。
在这样一种价值取向下,数学受到推崇是很自然的。因此,数学的最基本的思想、方法和观念等成分渐渐被吸纳进基督教体系中去,并成为构建基督教体系所必须的条件之一。这一点特别明显地体现在9世纪著名的经院哲学家和神学家萨阿迪亚.果昂(Saadia Gaon, 892-942)的著作中。[6] 在他的系统的神学理论中已经呈现出19世纪和20世纪数学所特有的某些方法和思维过程。如萨阿迪亚在他的著作中曾把上帝的存在作为假定,而上帝的唯一性被证明出来,并且以后所赋予上帝的一些性质通过抽象推理和《圣经》的象征手法有趣地结合而推导出来。在这里希腊人的方法与希伯来传统结合起来。这也引出了近现代数学中的“唯一性问题”。
中世纪神学理性的思想在托马斯.阿奎那等人的著作中达到了顶点,他们直接吸纳了数学基本的抽象观念和逻辑推理的方法,从而构建了一个庞大而又严密的宗教思想体系。在他们的著作中可以发现抽象的程序,符号表示的应用,包括像“反证法”的有趣的逻辑设计,也有一些逻辑的概念,这些概念从罗素和怀特海以后变得标准化起来。更进一步他们对上帝存在(唯一性)的证明引起了这样一种观念的产生:存在唯一性定理在一个理论体系中处于一个中心地位,这种观念也在近代数学的内容中留下了烙印。此外,近代数学分析中的无穷大、无穷小、连续、离散、旋转等概念思想都是中世纪的学者经常讨论的问题,几百年的繁琐争论和辩论,在某种程度上,堪称是从古代到现代数学思想的过渡。[7] 总之,中世纪的“明确严谨的思想之习惯……由于经院神学的长期统治而被灌输到欧洲人的头脑之中”,正是这种理性的精神构成了神学思辩和数学思维相互默契的一个枢纽。
这样,数学在弥漫着神学气质的精神环境中就成为宗教内容的一部分,即数学也是上帝的作品的一部分。相应地探求自然界的数学法则就成为一种很虔诚的宗教活动,其目的是揭示上帝的伟大和辉煌。这种思想明确出现在中世纪的一些神学家的文献中,例如,中世纪的修女、剧作家海洛斯维特(Hrosvita of Gandersheim, 980)在她的剧本《智慧篇》(Sapientia)中曾经给出关于数的某些结论的复杂的讨论,然后她说:“这个讨论如果没有导致我们欣赏我们的创造者的智慧,以及自然界的作者令人惊奇的智慧的话,那么它将是徒劳的。他从无中开始了世界的创造,并置一切事物于数、测量和重量之中。然后,在人类的漫长岁月中,形成了一门越研究越展现出令人耳目一新的神奇科学。”[6]
这种思想经过几个世纪的酝酿,最终在16、17世纪达到其顶峰,看一看法国数学家、哲学家笛卡儿带有强烈的唯意志论特征的一段话:“数学真理,如同其他一切受造之物一样,也都是由上帝所确立,并依赖于上帝。……上帝能够做我们所理解的一切事情,我们不可以说上帝无法做我们所不理解的事情。因为,认为我们的想像力可以穷尽上帝力量的那种想法是僭越而狂妄的。”[8] 所以,对于此时的欧洲学者来说,上帝就是一位至高无上的数学家,人类不可能指望像上帝那样清楚地明白上帝的意图,但人至少可以通过谦恭的态度和理性的思考来接近上帝的思想,就可以明白神创造的世界。近代数学的产生和进展就直接得益于这种宗教观念的提升和促进,由此为近代数学发展超越古希腊阶段提供了一个必要的形而上学基础。
二、经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响
希腊人的宗旨——自然是依数学设计的,与圣经宗教的教义——上帝是这个设计的作者的信念融会在一起而演化成一种新的信仰——上帝依照数学设计了宇宙。这一信念经过中世纪几百年的基督教文化氛围的积累和酝酿,终于在16世纪左右爆发出前所未有的活力,对于推进近代数学和近代科学的产生起到极大的促进作用。它的第一个成果就是促进了一种不同于古希腊人的崭新的数学观的形成。
在古希腊哲学家毕达哥拉斯和柏拉图那里,数学是一门独立的、专门的学科,它被赋予了完美与和谐的性质。他们把数学孤立起来看待,认为数学是人们通往理念世界的阶梯,而当完美的数学与不完美的可感知世界产生矛盾时,现实是被校正的对象。柏拉图尤其认为在现象世界中物质阻碍了对数学理念的精确反映。柏拉图甚至憎恶“几何学”这个名词,他认为在几何学这门学科中存在着太多的使人联想起受做工作的名词,“这门学科所用的语言散发着奴隶的气息”,数学研究是一种崇高而且有哲理性的职业,但与应用有关的则是卑劣粗俗的。[8]
在文艺复兴时期,毕达哥拉斯和柏拉图所强调的自然是依照数学设计的信念广泛地为欧洲的知识分子所接受。近代数学的奠基者之一伽利略曾说:“自然是永远写在我们眼前的伟大的书本里的——宇宙——但是,如果我们不先学会书里所用的语言,掌握书里的符号,就不能了解它,这本书是用数学语言写出的,符号是三角形、圆形和别的几何图形。没有它们的帮助,人是连一个字也不会认识的;没有它们,就像在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡。”[3] 这种观点与柏拉图所认为的世界是按照数学模式运作的观念是一脉相承的,伽利略本人也曾以柏拉图主义者而自居。然而,无论他对毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德和阿基米德推崇备至到何等地步,他与柏拉图等人的立场还是有本质的区别。伽利略对数学的热情集中在数学能够与观测相符,这是一条遵循数学的实用性的道路。伽利略认为创世主已在他所创造的宇宙中充分实现了他的数学规划,这就意味着人类对数学的基本原理理解必须来自经验与实验。这种观点为数学与物理世界、与实践活动的结合奠定了基础。伽利略所做的不是单单复兴了古代数理知识,而是把数学成功地与自然研究相结合并对此坚信不疑,正如他所说的:“上帝在自然界的规律中令人赞美地体现出来的并不亚于他在圣经字句中所表现的。”与伽利略相似,开普勒也认为物质根本不是上帝创世活动的障碍。他说:“哪里有物质,哪里就有几何学。”对开普勒来说,经验并非是与数学不相干的事物。他们认为虽然数学的形式存在于头脑之中,但经验能够决定何种形式已被加诸于物质世界之上。所以,伽利略等人和柏拉图等人分别热衷的数学是各自不同的时代精神的产物。[9]
人文主义学者彼得拉穆斯则明确抛弃了柏拉图一味褒扬思辨、放弃实际应用和普及的“盲目偏见”,他认为,数学学科几乎为这种偏见所毁掉,因为只有在实践的刺激下数学科学才能够繁荣发展。F.培根是这个时期思想思潮的总结者,他极力提倡实验的方法,重视归纳法,强调知识的实用性,他认为数学应为物理服务。他要求科学既要上升为公理又要下降到应用,认为科学造福于人类才是最为合理的目标。近代数学的开拓者笛卡尔也明确地说:“我已决定放弃抽象的几何……目的是为了研究另一种以解释自然界现象为目标的几何。”于是,在这个时期一种明显区别于毕达哥拉斯—柏拉图的观点的数学经验论形成了。这种观点对近代科学,同时也对近代数学的发展产生了重大的影响。
上述这种新的数学发展趋向和价值观的出现与圣经宗教所倡导的教义有密切的关系。在《圣经》中,上帝把所有的劳动都看作是神圣的,而不管这些劳动是否由奴隶完成还是由自由民来完成。物质并不比非物质的东西低一等,它们同为上帝的创造物,从事物质性的职业不应被看作是不名誉的,这样手工艺者受到了尊重。这种观念在16世纪宗教改革中得到了充分的肯定和发扬。因此,在希腊哲学中的那些阻碍实验科学发展的因素就不存在了。实验科学也就直接获得了必不可少的宗教认可,而数学中的实验方法也就间接地获得了认可。从此,数学就从柏拉图主义的束缚中解放出来,它不像古希腊数学仅限于逻辑思辨的方法,近代数学由此出现了一个主要特征,那就是数学研究方法的多样化,包括逻辑证明、实物实验等。这种新的数学观的影响体现在近代数学活动和实践的探索中,由此刺激了许多新学科的产生,如画家达.芬奇和丢勒、荷兰的工程师西蒙.斯蒂文分别在他们的实践活动中发展了几何射影法和十进制小数。
上述新的数学观也导致了16和17世纪科学家和工匠之间的密切合作,尤其是在一些商业和工业中心,从而为数学活动的普及展开提供了前提条件。下面这些事件是这种趋势的最好例证。一位纽伦堡的铸铁匠请求数学家、牧师维尔纳(Johannes Werner)将欧几里德几何翻译成德文,以便他的儿子学习,并提议每个专题都应该附上实际应用的例子。英国的数学家迪格斯(Leonard Digges)、哈里奥特(Thomas Harriot)和迪伊(John Dee)等伟大的数学家对有发明创造的工匠极为尊重。英国数学家雷科德(Robert Recorde)为了便于不谙希腊文和拉丁文的工匠们阅读学习,开始用英文撰写他的数学著作。自1588年起,胡德(Thomas Hood)在伦敦为水手、工匠和士兵公开讲授科学、数学和天文学。1598年,伦敦格雷沙姆学院建成,以此作为学者与技师的一个会面地点以及用拉丁文与英文讲授科学、数学及神学的地方,大名鼎鼎的数学家布里格斯(H. Briggs)等是这所学院的数学教授。[8]
于是,近代数学在这种完全崭新的文化氛围中迈开了步伐。由于技工与学者相互合作、逻辑思辨与实验科学携手,大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生,这时,数学一方面从实验的自然科学中吸取了灵感,激发了众多新学科的创造,如对数、三角学的形成,微积分的产生与分析学的发展,都是建立在自然科学研究的基础上的。另一方面,数学的成果也日益广泛地被应用到其他自然科学的研究中去。实际上,从开普勒、笛卡尔、伽利略、牛顿到18世纪的拉普拉斯,他们在一般方法上或具体研究中都是以数学家的身份去探索自然的。依靠数学的指导,建立定量化的规律,从而导出了极有价值的科学成果。
由此看到,圣经宗教所蕴涵的思想,特别是宗教改革运动之后的新教思想无疑更有利于导致近代数学的产生和发展所需要的一种社会文化环境。在这种环境中,人们既能对物理世界所提出的问题发生兴趣,又有人愿意从抽象的观点去思考由各方面提出的问题所引起的概念,而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。而自然界是产生概念的温床,通过对这些概念本身进行研究得到新的抽象结论,然后反过来应用于自然,于是便获得关于自然的新的观点,对自然界有更丰富、更广泛、更强有力的理解,而这又会刺激更深刻的数学成果的产生。近代数学就是在这样一个思辨与现实的相互作用、循环往复的过程中成长起来的。
三、“一切归于上帝之荣耀”——近代数学研究的动机
除了古希腊的数学观与基督教教义相结合而产生的数学观刺激了数学的创造和实践探索之外,它对近代数学的另一个重要影响是为近代数学的产生和发展提供了强大的研究动力。“寻找大自然的数学规律是为了研究上帝的本性和行为,以及上帝安排宇宙的方案”是近代数学家们从事数学研究的强烈动机。这种宗教动机最清楚地体现在开普勒所说的一段话中:“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐,而这些是上帝依数学语言透露给我们的。”开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡儿、牛顿以及同时代的莱布尼茨等近代科学和数学的开创者们都视科学为一种宗教使命,他们认为科学家有义务去肩负之。“整个人类的首要追求目标应该是理解和发展上帝所创造的奇迹,这也是上帝赐给人类地球这个帝国的原因。”在这种热烈的宗教动机的驱使下,他们证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合。由此使他们更加深信上帝不仅创造了世界,而且其创造与数学思维相一致。于是对于这种美妙的吻合怀着一种难以置信的欣喜之情,1619年开普勒在他的《世界的和谐》一书中表达了他对上帝的不尽的赞颂:“我感谢你,上帝,我们的创造者,你使我看到你所创造的杰作的美,我赞颂经你之手所创造的作品。看,我已经完成了我被指派的任务;并从你所赋予我的智慧中获得了乐趣。我将尽力在我的智力所能达到的极限的程度上,向阅读这个证明的人公开赞扬这项工作的荣耀。”[6]
伟大的数学家、物理学家牛顿的科学工作最明显体现了寻求上帝设计自然界的秘密的宗教动机。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序和一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运动等宏大现象的宇宙图景。牛顿的规划使世人折服:自然界是依数学设计的,自然界的真正定律是数学。牛顿之所以提倡他的自然哲学的数学原理,而且确信数学是他所描述的现象的真正解释,其基础也是与他那个时代的所有数学家和科学家同样的信念:上帝创造的世界与数学原理吻合。牛顿多次表明对上帝的信仰是他进行数学和科学研究的真正动力。他认为科学也是崇拜上帝的一种形式,科学将揭开上帝辉煌设计的秘密。他为自己的工作揭示了无所不在的上帝的秘密而倍感欣慰。事实上,牛顿重视宗教远胜于重视数学与科学,因为后者只不过是展示上帝对宇宙的设计而已。
对于上帝依数学设计自然界的坚信在18世纪最伟大的数学家欧拉那里达到了顶峰。他不仅用最大最小原理证明上帝比16、17世纪的人们所称颂的更为英明,而且他还确信上帝赋予人类的使命是运用人类自身的才能去理解他的法则,自然之书已经打开在人们的面前,但是它是上帝用人们一时半会不能理解的语言写成的,只有用毅力、热爱、坚忍和钻研才能读懂,这种语言便是数学。正是这种强烈的宗教使命感使欧拉把自己的一生奉献给了数学与科学,直到生命的最后一刻。
伴随着欧拉等人在虔诚地进行数学研究的同时,在欧洲,另一场影响深远的运动——启蒙运动也在如火如荼地展开,这场以弘扬“理性”为宗旨的思想运动的一个直接结果是科学与上帝开始出现分离的倾向。然而探讨上帝的宇宙的数学设计这一动力并未消失,它仍然是近代数学发展的主要精神动力和创造源泉。其实,从更深层的意义上来审视启蒙运动并不能单纯地把它看作是一个反对宗教的一场运动,启蒙运动实际上是基督教文化在成熟时期所进行的自我反思和自我批评,启蒙时期的思想家们所用的思想武器也仍然是基督教文化锻造出来的,没有基督教就不会有启蒙运动,基督教文化是启蒙运动展开和发展的土壤。的确,即使像狄德罗、拉普拉斯这样激烈否定上帝存在的数学家也在他们的思想和实践中承袭了对于“上帝依照数学设计了宇宙”的信仰。例如,拉普拉斯需要有一个“无限的智慧者”的假设去澄清他的概率思想以及解释他为什么把概率置于人类思想中一个如此重要的地位的缘由。[11] 这个万能的智慧者能够在某一瞬间理解使自然界生机盎然的全部自然力,而且能够理解构成自然的存在的各自的状态,并且足以将所有这些资料加以分析,将宇宙中最巨大天体的运动和最轻的原子的运动都包含在一个公式中。那么对于这个智慧者来说没有任何事物是不确定的,未来如同过去一样在他的眼中将一览无余。人类的心智在致力于天文学上所表现出来的完美中,给出了与这一智慧者微弱的相似性。所以,机会对于拉普拉斯来说并不是不可化约的随机,不是一大群独立事件的相互交错和相互作用这样一个图式的偶然的结果。如果自然界的所有事件能够同时被感知到,并且如果我们的演算技术足够先进的话,那么我们将不比无限的智慧者更需要概率。但是有限的人类是不可能达到万能的境界的,这样概率本质上是对人类谬误水平的一种估计,概率之应用于自然界也只是在一定的知识水平上的预测,而它的本质恰恰是人们可怜的无知。[12]
19世纪的数学家们仍被这样的信念所驱使:他们就是神派来揭示上帝的意图的。高斯、柯西、傅立叶、康托等数学巨人们仍然沿着先人铺设的道路前进,他们加速寻求自然界的数学定律,创造了更为神奇的数学领域,并把它们应用到对自然的进一步探索之中。甚至到20世纪,许多数学家和科学家,如魏尔、爱尔密特、爱因斯坦、怀特海等在解释数学在现实、科学、一切人类事务中为何如此有效时仍然认为,这种现象很难诉诸理性,而只能诉诸于自然的数学设计这一信念。正如爱因斯坦所说:“数学作为不依赖于经验的人类思维的产物,怎么能够如此令人惊叹地适合于真实客体?”“我想了解上帝如何创造了这个世界。我对诸个具体现象并不感兴趣。我意欲理解上帝的意图,其余的只是细枝末节。”
时至今日,当人们广泛接受数学是“研究秩序和模式的科学”这一定义时,也许并没有意识到这样一个事实,尽管许多知识都已世俗化,然而,数学这门学科的基础动力仍然来自于“自然界的数学设计”这一宗教的形而上学的基础。总之,对于近代数学时期数学家的研究动机的评价,威廉.詹姆斯在《实用主义》一书中给出了精确的概括:“当最初数学的、逻辑的和自然的统一体、最初的定律被发现时,它们的清晰、美妙和简洁深深地吸引了人们,使众人相信似乎它们已成功地读出了万能之主的真正思想。上帝的心智发出轰鸣,作为对演绎法的回声,他也陷入了对圆锥曲线、平方、方根和比例的沉思,像欧几里德那样进行几何研究。他为行星运动确立了开普勒定律,他使落体的速度与时间成比例地增长。他还创造了正弦定律,使光在折射时遵循。上帝构想出一切物体的原型,设计出它们的变体,而当我们重新发现了其中任何一个神奇创作时,也就是说我们理解了他的原始本意。”[13]
综上所述,我们看到近代数学的产生不仅仅得益于古希腊数学的成长壮大,而且也受益于基督教文化传统的滋润与培育,由此培养起为荣耀上帝而通过理性与实验方法去探索自然和自然法则的思想,从而促进了现代数学思想的形成。荷兰科学史学家霍伊卡曾说:“倘若我们将科学喻为人体的话,其肉体组成部分是希腊人的遗产,而促进其成长的维他命和荷尔蒙是《圣经》的因素。”“科学更多地是某种宗教观念的结果,而不是其原因。”[9] 实际上,基督教在近代数学兴起过程中所起的作用并不比上述比喻弱,除了基督教为近代数学的研究提供了强大的动力,以及宗教思维刺激了近代数学的某些特征的出现和实践探索之外,近代数学与基督教之间还有着其他方面千丝万缕的联系和影响,如近代数学的高度抽象性和广泛的应用性等特征的产生、近代数学教育的形成、近代数学向不同文化地区的传播,等等。总之,在近代数学兴起的时代,基督教是当时欧洲生活中最强大的力量,人们对上帝的看法影响了他们的数学观,而这种数学观又必然影响了他们探究数学的动机和方法,进而影响到近代数学的进程和面貌,这一点是毫无疑问的。
【参考文献】
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[12] 王幼军.拉普拉斯概率论的历史研究[M].上海:上海交通大学出版社,2007.
[13] M.克莱茵.数学:确定性的丧失[M].李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,1999.
(原载《上海师范大学学报》2008年3期。)

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